隨著高維空間的概念的增加，數學上必須開始正視高維空間的坐標系這樣的東西引入了。

　　希爾伯特認為，想要引入這些概念，就需要讓他們變得標準化。

　　首先從歐幾裡德空間的一個推廣，其不再局限於有限維的情形。

　　然後規定其上有距離和角的概念，引申而來的正交性與垂直性的概念。

　　希爾伯特空間也是一個內積空間。

　　還是一個完備的空間，其上所有的柯西序列等價於收斂序列，從而微積分中的大部分概念都可以無障礙地推廣到希爾伯特空間中。

　　希爾伯特空間為基於任意正交系上的多項式表示的傅立葉級數和傅立葉變換提供了一種有效的表述方式，而這也是泛函分析的核心概念之一。

　　最後可以引入量子力學中。

　　也為Lp空間奠定基礎。

　　L空間都是巴拿赫空間，但只有當p= 2的時候，L空間是希爾伯特空間。

　　也就是說，可以為L空間中的元素定義內積。

　　表示複數的共軛。

　　這個內積是從2-范數自然誘導的內積。

　　L空間在傅立葉級數和量子力學以及其他領域有著重要的運用。

　　空間可以看作是L空間的特例。

　　只要取L空間中的，測度為上的計數測度，則對應的就是空間。