希爾伯特與他的學生P.貝爾奈斯開始討論關於流形的問題。

　　希爾伯特說:“一般的流形都是三維的，就像我們研究的關於水一類的問題。”

　　貝爾奈斯說:“這是流體力學的范疇吧?”

　　希爾伯特說:“不是這樣的，我想把這個東西推廣都高維空間。”

　　貝爾奈斯知道自己的老師有些魔怔，動不動就跟高維空間杠上了，不管是什麽樣的數學模型，希爾伯特總喜歡往高維度空間推廣。

　　畢竟沒有前人的鋪路，所以一些看法經常修修改改，比如高維空間的超四面體、正方體和圓形應該是怎樣的，一開始錯誤的，總是不斷的改，改的合理為止。

　　貝爾奈斯說:“想法是挺有意思的，但是根本沒有高維空間，所以你的假設再合理了也沒有用。”

　　希爾伯特沒有說話，陷入沉思中，貝爾奈斯看到希爾伯特沒說話，也不好意思了，接著問:“那你說說看，我們如何合理的引入高維流形。”

　　希爾伯特說:“我也正在思索，其實高維空間系統不代表一定就是超越長寬高的一種坐標空間，可以加入其它的量，這些其它的量才是一種真正的高維空間的量，我們到時候就是依據這樣的方式研究一個系統。”

　　貝爾奈斯說:“我知道了，就是高維空間的坐標軸是長、寬、高、時間、動量、能量、甚至對應的不同方向的分量。這樣倒是研究系統的時候變得方便了，可是本身高維空間就是複雜的，我們無法形象生動的看清楚其中的每一個變化，只能是是在這多個坐標軸裡取其中三個形成一個我們能肉眼看見的坐標來研究我們想要的變化，剩下的變量都必須不能改變才行。”

　　希爾伯特點點頭，認可貝爾奈斯說的那種只需要選其中三個坐標研究的方法。

　　貝爾奈斯說:“可是，我們直接組建就行嗎，這樣的系統到底是哪裡看起來方便了?”

　　希爾伯特也不知道這是在幹什麽，他此刻需要提出一種規范的東西，或者是推廣高維空間了，哪些東西可以繼續使用的東西。

　　希爾伯特說:“首先第一點，那些不同變量的坐標軸必須是相互垂直的，是個正交關系。要是這個樣子的話，我們就需要先去研究不同量變化的角度了。”

　　貝爾奈斯說:“帶了角度的，要麽是直線，或是曲線的切線，而且這些都有複雜的方向，需要使用複雜的向量來表示。”

　　希爾伯特說:“所以必須要使用向量，也就必須可以使用向量的法則，就是向量的長度和角度都必須存在，同時向量直接加法和乘法的運算必須要跟原來在二維和三維的時候要一樣。”

　　這就是希爾伯特空間的內積性。

　　貝爾奈斯說:“沒錯，而且還需要有完備性。”

　　希爾伯特說:“如果要是有完備性，就需要是一種可以度量的空間。也就是他們的柯西序列是可以收斂在這種空間裡的。”

　　貝爾奈斯說:“沒錯，這樣就可以在高維空間裡使用微積分了。”

　　希爾伯特說:“如果這樣的話，在不同正交坐標系上的多項式都可以使用傅立葉變換來表示了。”

　　希爾伯特流形(Hilbert manifold)是模空間為希爾伯特空間的巴拿赫流形。