佩雷爾曼的生活已經有了很大的變化，他對周圍其他的事情沒有一般人那麽多的期待。僅僅是一般般的觀賞。

　　在他的腦中，隻對龐加萊提出的拓撲學問題有了興趣。

　　佩雷爾曼生活很簡單，一切收入來源除了自己有一丁點的薪水以外，就是自己的母親養活自己了。

　　佩雷爾曼知道，當心俄羅斯的生活沒有了太多的其他希望，大家過的都不景氣，經濟也差，機會也少。如果工作找的不合適，那麽一生幾乎就要窮困潦倒了。

　　佩雷爾曼自從愛上數學和物理之後，哪裡對其他的事情抱有大的興趣。

　　此刻是對龐加萊猜想興趣最大，龐加萊猜想就是:“任何一個單連通的，閉的三維流形一定同胚於一個三維的球面。”

　　簡單的說，一個閉的三維流形就是一個有邊界的三維空間;單連通就是這個空間中每條封閉的曲線都可以連續的收縮成一點，或者說在一個封閉的三維空間，假如每條封閉的曲線都能收縮成一點，這個空間就一定是一個三維球面。

　　後來，這個猜想被推廣至三維以上空間，被稱為“高維龐加萊猜想”。

　　龐加萊猜想是一個拓撲學中帶有基本意義的命題，將有助於人類更好地研究三維空間，其帶來的結果將會加深人們對流形性質的認識。

　　龐加萊一開始以為自己已經證明出來了，但沒多久，發現其中有錯誤。

　　英國數學家懷特海也去證明了，也有錯誤，但是卻發現了懷特海流形。這是三維流形的一些有趣的特例。

　　帕帕奇拉克普羅斯也想證明，發現了“迪恩引理”。對於龐加萊的猜想，他始終沒有證明出來。

　　龐加萊猜想沒有證明出，發展出低維拓撲學。作為幾何拓撲學的基礎學科，它又無法被繞過去。

　　斯梅爾說:“如果三維的龐加萊猜想難以解決，高維的會不會容易些呢?”

　　1961年的夏天，在基輔的非線性振動會議上，斯梅爾公布了自己對龐加萊猜想的五維空間和五維以上的證明，立時引起轟動。斯梅爾由此獲得1966年菲爾茨獎。

　　1983年，美國數學家福裡德曼(Freedman)將證明又向前推動了一步。在唐納森工作的基礎上，他證出了四維空間中的龐加萊猜想，並因此獲得菲爾茨獎。但是，再向前推進的工作，又停滯了。

　　拓撲學的方法研究三維龐加萊猜想沒有進展，有人開始想到了其他的工具。瑟斯頓(Thruston)就是其中之一。他引入了幾何結構的方法對三維流形進行切割，並因此獲得了1983年的菲爾茨獎。

　　1972年，丘成桐和李偉光合作，發展出了一套用非線性微分方程的方法研究幾何結構的理論。丘成桐用這種方法證明了卡拉比猜想，並因此獲得菲爾茨獎。

　　1979年，漢密爾頓在做流。丘成桐說，“於是我跟他講，可以用這個結果來證明龐加萊猜想，以及三維空間的大問題。”

　　流是以意大利數學家裡奇( )命名的一個方程。用它可以完成一系列的拓撲手術，構造幾何結構，把不規則的流形變成規則的流形，從而解決三維的龐加萊猜想。看到這個方程的重要性後，丘成桐立即讓跟隨自己的幾個學生跟著漢密爾頓研究流。

　　在使用流進行空間變換時，到後來，總會出現無法控制走向的點。這些點，叫做奇點。如何掌握它們的動向，是證明三維龐加萊猜想的關鍵。

　　在借鑒了丘成桐和李偉光在非線性微分方程上的工作後，1993年，漢密爾頓發表了一篇關於理解奇點的重要論文。

　　便在此時，丘成桐隱隱感覺到，解決龐加萊猜想的那一刻，就要到來了。

　　格裡戈裡·佩雷爾曼在花了8年時間研究這個足有一個世紀的數學難題後，在2002年11月和2003年7月之間，將3份關鍵論文的手稿粘貼到專門刊登數學和物理預印本論文的網站上，並用電郵通知了幾位數學家，聲稱自己證明了幾何化猜想。

　　到2005年10月，數位專家宣布驗證了該證明，一致的讚成意見幾乎已經達成。“如果有人對我解決這個問題的方法感興趣，都在那兒呢—讓他們去看吧。”

　　佩雷爾曼說，“我已經發表了我所有的算法，我能提供給公眾的就是這些了。”

　　佩雷爾曼使用了物理學中熵的概念去解決這個猜想。