上面說到了秦九韶，那咱們又不得不提他《數書九章》中的“任意次方程”、“小數點”和“負數”　　“小數點”這一運算符號，在南宋以前世界上任何一個國家都沒有，是秦九韶第一個提出來並應用於實際，最初是為了解決“除法”和“開根”不盡帶來的問題，所以當時秦九韶首次提出了“小數點”這一分隔符號。而且“負數”這一概念也是他首先提出的。而歐洲呢，直到荷蘭人斯蒂文(1548～1620)，他在《論十進製》(1583年完成，從此歐洲才算真正給十進製證明，有了理論依據。)一書中第一次明確了“小數點”的表示法。【有點需要再次明確，十四世紀之前歐洲是六十進製和十進製混用的年代，直到十五世紀開始，十進製才漸漸成為主流，十六世紀的時候已經取代六十進製。】

　　客觀公正的說，《數書九章》在數學內容上有著頗多劃時代意義的創新。中國傳統籌算式記數法及其演算式在此得以完整保存。自然數、分數、小數、負數都有專條論述，而且還第一次用小數表示無理根的近似值。在此書的“卷一大衍類”中靈活運用最大公約數和最小公倍數，並首創連環求等，借以求幾個數的最小公倍數。在《孫子算經》(不是孫子兵法的孫子。)中“物不知數”問題的基礎上還總結成大衍求一術，使一次同余式組的解法規格化、程序化，比西方高斯創用的同類方法早500多年，被公認為“中國剩余定理”。該書“卷十七市物類”給出完整的方程術演算實錄，書中還繼賈憲增乘開方法進而作正負開方術，使之可以對任意次方程的有理根或無理根來求解，比19世紀英國霍納的同類方法早500多年。此外，秦九韶還改進了一次方程組的解法，用互乘對減法消元，與現今的加減消元法完全一致。同時秦九韶又給出了籌算的草式，可使它擴充到一般線性方程中的解法。在歐洲最早是1559年布丟(Buteo，1490—1570年，法國)給出的，他開始用不很完整的加減消元法解一次方程組，比秦九韶晚了312年，且理論上的不完整，也遜於秦九韶。

　　除此之外，秦九韶還提出了秦九韶算法。直到今天，這種算法仍是多項式求值比較先進的算法。該算法看似簡單，其最大的意義在於將求n次多項式的值轉化為求n個一次多項式的值。在人工計算時，利用秦九韶算法和其中的系數表可以大幅簡化運算。對於計算機程序算法而言，加法比乘法的計算效率要高很多，因此該算法仍有極大的意義，很大程度上減少了現代CPU的運算時間。(最初的cpu采用的是乘法計算。)

　　應該說《數書九章》是對《九章算術》的繼承和發展，概括了宋元時期中國傳統數學的主要成就，標志著中國古代數學的高峰。當它還是抄本時就先後被收入《永樂大典》和《四庫全書》。1842年第一次印刷後即在民間廣泛流傳。秦九韶所創造的正負開方術和大衍求一術長期以來影響著中國數學的研究方向。焦循、李銳、張敦仁、駱騰鳳、時曰醇、黃宗憲等數學家的著述都是在《數書九章》的直接或間接影響下完成的。秦九韶的成就也代表了中世紀世界數學發展的主流與最高水平，在世界數學史上佔有崇高的地位。

　　而秦九韶的《數書九章》無疑是一部重大的數學成就，在此之後，王恂郭守敬等元朝科學家，在此基礎上完善了二次內插法，並創立了三次內插法運算公式，

朱世傑更是開創了四次內插，從此拿到了開啟了人類跨入新紀元時代的鑰匙。要知道，同一時期的歐洲對“數學”一詞並沒有概念，“數學”一詞的出現還得益於十四世紀的法國數學家尼克爾·奧裡斯姆，他第一次為歐洲定義了“數學”概念的范疇。　　秦九韶的著作涉及范疇已經跨入了大學高等數學之列，當然和現代數學相比仍有較大差距，不過接下來的這位可算得上真正是中國數學巔峰之人，是即賈憲、秦九韶、郭守敬、王恂之後中國數學的最高峰，而這個人就是數學的珠穆朗瑪峰，朱世傑。

　　朱世傑，生於1249年-卒於1314年，是燕山(今北京)人氏，元代數學家、教育家，畢生從事數學教育。有“中世紀世界最偉大的數學家”之譽。朱世傑在當時三元術的基礎上發展出“四元術”，也就是列出四元高次多項式方程，以及消元求解的方法，而歐洲直到十九世紀才出現四元次冪方程式雛形而且長期沒有進展。此外他還創造出“垛積法”，即高階等差數列的求和方法，與“招差術”，即高次內插法。主要著作有《算學啟蒙》與《四元玉鑒》。

　　在宋元時期的數學群英中，朱世傑的工作具有特殊重要的意義。如果把諸多數學家比作群山，則朱世傑是最高大、最雄偉的山峰。站在朱世傑數學思想的高度俯嫩傳統數學，會有“一覽眾山小”的感覺。朱世傑工作的意義就在於總結了宋元數學，使之在理論上達到新的高度。這主要表現在以下三個領域。首先是方程理論，在列方程方面，蔣周的演段法為天元術作了準備工作，他已具有尋找等值多項式的思想，洞淵馬與信道是天元術的先驅，但他們推導方程仍受幾何思維的束縛，而南宋末期的李冶基本上擺脫了這種束縛，總結出一套固定的天元術程序，使天元術進入成熟階段。

　　在解方程方面，賈憲給出增乘開方法，劉益則用正負開方術求出四次方程正根，秦九韶在此基礎上解決了高次方程的數值解法問題。至此，一元高次方程的建立和求解都已實現，而線性方程組古已有之，所以具備了多元高次方程組產生的條件。李德載的二元術和劉大鑒的三元術相繼出現，朱世傑的四元術正是對二元術、三元術的總結與提高。由於四元已把常數項的上下左右佔滿(主要是指籌算法的方程公式)，方程理論發展到這裡，顯然就告一段落了。從方程種類看，天元術產生之前的方程都是整式方程。

　　從洞淵到李冶，分式方程逐漸得到發展。而朱世傑，則突破了有理式的限制，開始處理無理方程，其次是高階等差級數的研究。沈括的隙積術開研究高階等差級數之先河，楊輝給出包括隙積術在內的一系列二階等差級數求和公式。朱世傑則在此基礎上依次研究了二階、三階、四階乃至五階等差級數的求和問題，從而發現其規律，掌握了三角垛統一公式。他還發現了垛積術與內插法的內在聯系，利用垛積公式給出規范的四次內插公式。第三，是幾何學的研究，宋代以前，幾何研究離不開勾股和面積、體積。蔣周的《益古集》也是以面積問題為研究對象的，李冶開始注意到圓因式中各元素的關系，得到一些定理，但未能推廣到。而朱世傑不僅總結了前人的勾股及求積理論，而且在李冶思想的基礎上更進一步，深入研究了勾股形內及圓內各幾何元素的數量關系，發現了兩個重要定理--射影定理和弦冪定理。(利瑪竇傳入的很多當時的西方幾何，其實早就過時了，而且當時西方才有一元次冪方程式，而方程式又是和幾何緊密聯系的，所以不太可能有高級未知的幾何知識傳入中國這一說，因為高等數學很大程度上是建立幾何作圖的基礎上發現的規律)朱世傑在立體幾何中也開始注意到圖形內各元素的關系，他的工作使得幾何研究的對象由圖形整體深入到圖形內部，體現了數學思想的進步。

　　鑒於在元滅南宋以前，南北之間的交往，特別是學術上的交往幾乎是斷絕的，也就是老死不相往來。南方的數學家對北方的天元術毫無所知，而北方的數學家也很少受到南方的影響。所以橫跨宋元兩朝朱世傑的工作就等於是把中國上下兩千多年所有的數學、幾何全部進行了統一的整理和總結，把所有數學已知領域的最高成就一鍋燴了。

　　其實，當次冪函數，一元次冪方程、二元次冪方程、三元次冪方程、四元次冪方程、微積分等等數學成就誕生之初，其實中國人已經拿到了潘多拉魔盒的金鑰匙。有數學常識的朋友都知道，只要掌握了以上高等數學知識，近現代幾乎沒有做不出來的數學難題。而我們的祖先卻是在七百多年前，甚至一千多年前就已經為我們打開了數學之窗，現在想來，不得不令人感慨和自豪。

　　數學作為萬物之始，有著自然界舉足輕重的作用，一旦拿到了數學大門的金鑰匙，也就意味掌握到了通向未來社會的道路。歐洲如同文明的暴發戶，幾乎一夜之間不需積累和沉澱，便輕易拿到了這把金鑰匙，從而開始了對外的瘋狂擴張。

　　其實不難發現，歷史的規律雖然幾經被刻意掩蓋，但歐洲列強最終的繞了地球一大圈，殖民殖遍前世界之後，最後終於來找中國清算文明帳了。很多讀者看了本章之後，一定有許多的想法和衝動，也許有人已經發現了某種內在的聯系，為什麽歐洲眾多的數學大發現都是在十三、十四世紀宋、元兩朝滅亡之後的十六世紀，一夜間就混的風生水起。短短三百年就走完了中國三千年的實踐歷程(其實沒走完說白了，還得靠清朝留洋出去的中國留學生翻譯，同時繼續佔為己有，四元方程式就是很好的例證，這件事不過才一百多年)，難道早期歐洲數學就不需要經過實踐的檢驗嗎?但也一定有人在想，歐洲人到底是如何把中國的知識偷回歐洲，然後又神不知鬼不覺的漂白變成自己的傑作的呢，難道中世紀的歐洲有人會中文翻譯?(長期以來中國人一直忽略了一個從中東飄蕩出來的民族楔入，後書中將逐步提及。)

　　再有，隨著近年中國的和平崛起，有著越來越多的歐洲學術機構和教會，一直試圖在否認馬可波羅到達中國這一事實，而且這一輿論觀點愈發甚囂塵上。那麽歐洲人到底害怕什麽呢，還是有什麽內在原因糾葛，難道說多一個友誼的使者不好嗎?這一點很耐人尋味。

　　不過小作這裡要可以提示一下，美國總是吹噓F22、F34、F18、F117、B2等等，還有什麽X破的玩意兒，但美國似乎並不願意提及一個中國人，更不願意把兩者聯系起來，那不如小作來戳破把。

　　數學家“陳省身”大家不陌生，但很多人不知道，二十世紀三四十年代的美國幾何工程學其實一塌糊塗幾乎一片空白(當時整個世界也不怎麽樣，德國、匈牙利這些西方數學中心其實也很糟)，但正是陳省身以一人之力奠定了美國幾何工程學基礎。而幾何工程學，是設計現代所有複雜幾何外形的前提，當然有人會說老美的電腦不是利害嗎，用電腦不就全都有了嗎?但是不要忘了，電腦固然可以繪製複雜幾何結構，但其核心的“算法”和“理論定律”都是由陳省身一人奠定的。像現代工業自動化加工中常用的軟件“UG”，其核心算法就是陳省身算法。所以眾多讀者不要以為美國戰機很厲害，其實什麽都不是。中國不是造不出來，也不是設計不出來，更不是沒有數學人才。而是工業後勁不足，機械加工工藝不行，材料積累還不夠！

　　包括美國長期壟斷的的激光陀螺儀，實質是也是西德華人首先搞出來的原理，後來迫於西方政府壓力不得不放棄知識產權，而諸如此種事件其實數不勝數，只是長期以來一直被掩蓋著而已。但掩蓋有用嗎，中國人不還是靠著錢學森提供的一行只有原理的字條，硬是在沒有任何資料和技術設備的殘酷條件下搞了出來嗎。所以，只要中華文明不滅，中華依然有希望， 依然能夠獨佔鼇頭，只是時間問題！時間問題！

　　(最近幾章內容讀者們看了也許會感到匪夷所思和誇張甚至是**，但請不要懷疑，這確實就是中國古代最輝煌的文明巔峰，小作並沒有刻意編造和歪曲，事實就是這樣。可能許多人也會在想，宋元時期的中國數學這麽利害，西方簡直就是一坨爛屎，如果物理化學都達到同等水平的話，甚至可能製造出原子彈啊！對於有此乖張想法的讀者，小作想說的是，幸虧當時物力化學還非常滯後，西方可能也慶幸中國的南宋朝滅亡了，因為弄不好南宋再苟活上五十年的話，後膛定裝步槍都橫空出世了，當然這不是狂想。因為據小作所查閱的相關技術資料來看，南宋的機械加工能力異常駭人聽聞，比諸位所能想象的更為強大，製造方面沒有很大障礙，缺的就是理論和科學認知，以及足夠長的時間而已。而因為二十五年時間仍然太短，並不符合工業發展規律，所以本書中幾乎不會出現跨時代的產物。關於南宋機械加工能力後書中將逐漸涉及。而且不要以為現代人就很聰明，其實中國古人早就在實踐了，今人很大程度上只是在重複古人的想象力而已。

　　最後說一句，雖然南宋科學成就已經到達了一種巔峰，但很可惜最後還是滅亡了，本說會陸續詳細敘述這個過程解密為什麽南宋如此之高的成就最後還是慘烈輸給了元朝，當然本說將有以外結局，敬請期待吧。)

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