“阿貝爾寫的這些太難了，看不明白。”

　　伽羅瓦認為，證明五次方程不可解，不能像阿貝爾那樣使用繁雜的公式直接推導去尋找矛盾。

　　而是需要尋找一個真正的本質，一種內在的精確的簡單的數學結構來說明這一點。

　　“二、三、四次方程可以解出來，那是有一個內在的性質的。”

　　“是對稱性，這種對稱性在五次方程中沒有。”

　　“而這種對稱性，跟交換群的對稱性，在數學上是一回事，兩者是等價的。只是長的不一樣罷了。只要我能夠證明這兩者是等價的，同時在五次的交換群裡找到異常的地方，就可以了。”

　　“可什麽是異常呢?”

　　伽羅瓦吧3、4次的交換群都畫出來了。

　　然後畫出了第5次，發現第5交換群有問題。

　　這個問題就是5次交換群沒有正規子群。

　　“如果沒有正規子群的話，就能說明五次方程是沒有四則運算解的嗎?”

　　伽羅瓦開始從域論和擴張域上來尋找答案。

　　第一:域的正規可分擴張定義為伽羅瓦擴張。

　　第二:若K/F為伽羅瓦擴張，K上的F-自同構的集合構成一個群，定義為伽羅瓦群，記為Gal(K/F)。

　　第三:對於H是Gal(K/F)的子群，稱K中在H中任意元素作用下不動元的集合為H的不動域，這是一個中間域。

　　第四:對於伽羅瓦擴張，擴張的中間域和伽羅瓦群的子群有一一對應的關系。

　　第五:F?E?K形式的伽羅瓦擴張，E/F是正規擴張當且僅當Gal(K/E)是Gal(K/F)的正規子群。

　　第六:在特征為0的域上，多項式的根可用根式解當且僅當其分裂域擴張的伽羅瓦群是可解群。

　　廣義上的伽羅瓦理論還包括尺規作圖，諾特方程，循環擴張，庫默爾理論等內容。