以李文目前的水平,普通高考難度的題對他來說,基本沒有什麽挑戰了,他剩下沒做的題目都至少是預賽難度的。
這張滿分一百的挑戰杯試卷,現在他還剩下兩道解答題,和一道關於幾何的填空題沒有寫。
剩下的第一道解答題,偏重考察不等式的內容,其中第一小問比較簡單,李文輕而易舉的就做了出來。
但第二小問卻比較難,是一個關於x,y,z的三元不等式的證明。
題目要求證明三個帶有x,y,z字母的式子,加起來能夠大於等於一個常數。
其中,必須存在使等號成立的情況,並且x,y,z皆為正數。
所謂【存在使等號成立的情況】,換句話說,就是在所有滿足題目條件的常數值中,找到最大的那個。
滿足小於左邊式子的常數會有無限個,但是滿足【讓等號成立】的最大值只會有一個。
李文觀察了一下題目,左邊的三個式子雖然結構比較相似,但卻並不是傳統的輪換對稱式,這就減少了套用一些方法的可能。
不過,這也是一個思維的突破口,可以從這個角度來剖析題目。
對這道題,李文打算先用常規方法嘗試一遍。
不然,要是能用簡單辦法做出來,自己卻嘗試了很久的非常規做法,也太虧了。
把三個式子合並,再把常數值移到大於等於號的左邊,這樣隻用證明大於等於0就可以了。
李文嘗試去配湊了一下,卻發現這樣做非常的困難。而且,自己現在並不知道這道題的常數值是什麽。
李文又嘗試著用柯西不等式結合一些基礎不等式來做一做,可化解到最後還是不行。
“看來這道題只能用非常規的方法來做了。”李文得出了結論。
改變思路,去循著剛才找到的那個突破口,李文嘗試了幾次,卻都铩羽而歸。
“不等式的題目,完全無從下手啊。”李文的心裡有些焦急,“再繼續下去,我只能亂猜答案了。”
“亂猜......猜,”自言自語了幾句之後,李文突然反應了過來,“不等式的題目就是應該先猜後證的啊。”
“我可以先用一些特殊值,來得猜一猜那個最終要得到的常數值。”
代入了幾個靠譜的常數,嘗試了幾次以後,李文發現,得到的值一直都是三點幾。
“最終值會不會是三?”李文對這道題,產生了繼續探索下去的欲望,“他打算用一個更加【巧妙】的方法來配湊數值。”
先假設三個未知數的值是相等的,這樣就把三個三元式,變成了一個一元式。
再運用函數的知識,求這個一元式的極小值,李文最後得到了在這個一元結果下的最小值——3。
雖然過程是猜的,但也不是憑空亂猜,是用了一定的方法的,並且還得到了一個整數值作為結果。
李文十分相信這個答案。
“果然是3!”猜出了常數,題目就已經完成了一半了,感到有些欣喜的李文繼續探索了下去。
左邊是3元式子,右邊是常數,而且直接加減行不通。
李文打算用一個中間項作為【樞紐】來連接左右兩邊的式子。
於是,通過反覆觀察左邊式子的形式,李文把3這個常數,轉化成了3個對應左邊形式的式子,來作為【樞紐】。
通過這個【樞紐】,李文最終把這個題目簡化到了高考難度,
最後再采用最最基礎的不等式,拿下了這道題。 “呼......”做出了這道難題,李文緊繃的神經一下子放松了下來。
李文感覺,似乎在考試中,自己一旦對題目產生【探索】的欲望時,就能進入一個充滿靈感的狀態。這次,正是這種狀態,才讓他順利做出了題目。
........
在這道偏重不等式的大題上,李文足足花了四十多分鍾。但好在下面這道偏重數列的題目,雖然也是預賽難度的,但沒有上面那題這麽難。
二十分鍾以後,李文用一個非常巧妙的方法做出了這道題。
“還有十多分鍾來做這道填空。”看了一下牆上掛著的鍾,李文感覺自己沒有什麽機會提早交卷了。
“幾何題.....”揉著自己的腦袋,李文感覺有點抓狂。感覺自己一下子從美妙的代數世界之中落入了幾何的深淵。
“還是老老實實硬算吧!”對著題目畫了個草圖,李文就開始建系了。
算著算著,不知道是否是自己的計算能力提高了,李文倒覺得這種有思路可循的題目反而挺簡單的。
不帶檢查的七八分鍾算下來,李文就得到了一個帶根號的答案。
.......
雖然做完了試卷,李文也不急著去交,他打算把前面的那道選擇題,用填空的方法做出來。
取對數....求導,把這道選擇題當填空來做,難度還是不小的。不過,把監考老師準許的延遲交卷的時間用掉以後,李文還是算出了答案。
最後,在第六道選擇題的最終答案B的旁邊,李文還補上了另一個數值結果作為答案。
“寫了兩個答案,我就自己給自己加一分吧!”李文美滋滋的想。
“李文,這次你感覺自己能考幾分啊。”走出考場,李一政小心翼翼的詢問道。
“101。”李文隨口答道,倒把李一政嚇了一跳。
“不是,不是,說錯了。”李文急忙改口道,“我把所有題目都做完了,就是不知道自己最後能得幾分。”
“你把所有題目都做完了?”李一政無奈重複道,“看來我現在的水平已經遜色於你了。”
“我不等式大題第二問沒寫出來,還有兩道填空來不及寫。”頓了頓,李一政繼續道,
“不等式第二問我完全寫不出來,但我感覺這不是我的問題,是試卷的問題,除了你以外可能沒有人寫出來了......你這次大概率要第一了。”
“借你吉言。”李文心裡還是有些喜悅的,考試發揮不錯,總歸是一件好事。
至於接下來的競賽路怎麽走,通過這次考試,李文又有了新的打算。