依然是在希爾伯特空間的，歐幾裡得空間的定義那就只是為了計算的部分，對於實數的定義沒啥大用，等到了大量計算的時候希爾伯特空間也就沒啥用了，

　　對於單調變量，斯托爾茲定理我覺得更適合一些，而不是用加和的結果，比如說無窮比無窮，斯托爾茲定理就容易多了，因為比的是一個小的量，而不是非常大的。剩下的計算，不是原理，那就以後再說。

　　接下來是e這個無理數

　　e=lim(1+1/n)^n

　　=(1+1/n)*(1+1/n)*(1+1/n)*(1+1/n)*(1+1/n)*(1+1/n)*……

　　=((n+1)/n)^n

　　這裡的n其實是有限的，就是單位1裡麵包含的普朗克常數的個數，1/n就是一個普朗克常數的個數，所以這個是一個有編號的數字屬於希爾伯特空間的，值就不好說了，畢竟是無理數，，如果是從歐氏空間算就沒有最小點，只是一個近似的數字，無法通過普朗克常數的個數，這個物理上的點來進行證明lim(1+1/n)^n存在極限。

　　((n+1)/n)^n這個怎麽看都像是資本家折騰出來的最大利潤關系式子，它代表的是自然界最大的複利程度，是物理方面的單位時間存在的最大的複利程度。所以叫做自然數e，對於計算那就是二次項展開了，這裡是純數計算，所以是屬於歐氏空間。

　　接下來是區間套，這個覺得應該是是夾逼準則的來源，還有一個夾逼準則的來源應該屬於布爾擦諾引理，他們一個得到了不等號，一個是獲得了等號。還有一個是叫部分數列極限，這個是獲得了絕對值的符號，算是化簡運算，沒有更多對於空間的理解。

　　接下來開始講一元函數了，總覺得有些快了，算了，就說一下平面空間

　　稍微講一下，x軸上是稠密的，y軸上是稠密的，xy平面就是雙線性空間，那麽構成的圖是稠密的麽?這個就要涉及到平面上的點的集合，內容的話可以看小平榜彥的書，那個太複雜了，所以我這個給出一個其他的證明方法可能稍微簡單一些

　　在有限程實數空間，也就是普朗克量子的長度空間內

　　講有理標1無理標0組出一個4?4矩陣，可以化成4個2?2矩陣，刪掉未對應的以及不可以存在的組將，講剩下的依次逐行排序，其實這就是一維化，看看是否有額外會造成不連續的的矩陣，就是新的空間內的點也是符合有限集空間的定義就成立

　　解釋一下有理標1無理標0組矩陣的有理數和無理數的定義，

　　這裡對有理數和無理數重新開始定義，

　　之前定義是普朗克量子的量佔據的位置為有理數，間隙為無理數，但是，使用的時候就會發現無理數的數量遠多於有理數，這個就出現和之前的假設不一樣的地方，原因解釋一下，是因為精度超過了物理的最小普朗克量子的精度，進入到數學上的歐式空間，已經不能表示自然界存在的物質，不再是一一對應的，可以用坐標表示的范圍，在精度沒有超過了物理的最小普朗克量子的精度的時候，有理數都是有限的數字，兩個數字的間隙為無理數。超過之後就不一樣

　　為啥還會有可循環這個定義，是出於為了計算，是無理數出來的證明的理由，也是為了計算的精度，因為無理數是是通過有理數的逼近才得到的不斷提高的近似值，所以這裡是對文章第一篇的補充，無理數有理數在普朗克量子的精度是互為序數，是可以成立的，

　　又填補了之前挖下的一個坑。

　　x軸上是稠密的，y軸上是稠密的，xy平面就是雙線性空間這個應該是多元函數的連續性了，挖個坑以後再填