傅裡葉很驕傲的認為，任何一個周期信號都可以展開成傅裡葉級數。

　　雖然很多人都認為有爭議，但卻沒有有力論據。

　　狄利克雷對傅裡葉說:“不是所有的周期信號都可以展開成傅裡葉級數。”

　　傅裡葉說:“什麽樣的不可以。”

　　狄利克雷說:“周期裡帶一些古怪的無窮大的，就不可以。”

　　傅裡葉說:“如何的古怪法?”

　　狄利克雷說:“聽說過間斷點吧。”

　　間斷點有第一類間斷點和第二類間斷點:

　　第一類間斷點的左極限和右極限都是存在的，有可去間斷點和跳躍間斷點。

　　第二類間斷點指函數的左右極限至少有一個不存在，有無窮間斷點，振蕩間斷點，單側間斷點，狄利克雷函數間斷點。

　　傅裡葉從沒細細考慮過這個，覺得狄利克雷轉牛角尖說:“我知道，可去間斷點難道不可以展開成傅裡葉級數嗎?跳躍間斷點難道不可以展開成傅裡葉級數嗎?”

　　狄利克雷說:“無窮間斷點不可以，單側間斷點不可以。”

　　狄利克雷話還沒說完，傅裡葉打斷:“等等，還有狄利克雷函數間斷點。你這個函數既不連續，有不可導，當然不可以了。”說完二人哈哈大笑。

　　狄利克雷說:“所以，想要讓周期函數能展開成傅裡葉級數，要麽函數連續，要麽只有幾個第一類間斷點。”

　　傅裡葉說:“是的，我不會去處理第二類間斷點這麽麻煩的東西。”

　　狄利克雷說:“在一周期內，極大值和極小值的數目應是有限個。”

　　傅裡葉說:“你的意思是，如果是無限個最大值和最小值，我的就處理不過來?”

　　狄利克雷說:“還有一個條件是，信號是絕對可積的。”

　　傅裡葉說:“還有不可積的周期函數?”

　　狄利克雷寫出了不可積函數，sinx/x求x積分，sinx^2求x積分等函數。

　　狄利克雷條件是一個信號存在傅裡葉變換的充分不必要條件。狄利克雷條件括三方面:

　　(1)在一周期內，連續或只有有限個第一類間斷點;

　　(2)在一周期內，極大值和極小值的數目應是有限個;

　　(3)在一周期內，信號是絕對可積的。