若爾當與赫爾德開始一起研究群的東西。

　　若爾當對赫爾德說:“很多人講不清楚群論的問題，其實我這裡有個很好的解釋的角度。”

　　赫爾德說:“說說看，如何可以更容易理解?”

　　若爾當說:“其實就是給各種各樣的對稱性分類。”

　　赫爾德說:“對稱性有幾類，有可以分的嗎?不就是點對稱和軸對稱。難道還有第三種?”

　　若爾當笑說:“狹隘了吧，對稱分很多種呢。”

　　赫爾德說:“鼓弄玄虛那吧?所有的對稱性無非就是這兩種對稱的堆砌。”

　　若爾當說:“還有一種輪換對稱性，就是我給你掃地，你給他掃地，他給我掃地。這也是一種對稱，是啊！你沒有想過這個挺常見的問題嗎?”

　　赫爾德想了想，確實沒有不能用軸對稱和點對稱來表示這種輪換對稱。

　　赫爾德也覺得這種輪換對稱，也是一種對稱性，也有實際用途。

　　想了良久，對若爾當說:“那對稱的基本定義是什麽?是幹什麽用?需要用什麽樣的數學符號嚴格規定?”

　　若爾當苦笑:“我只是想到了輪換對稱性，但不知道對稱性到底該怎麽弄。”

　　赫爾德繼續思索，感覺對稱性的最重要宗旨就是，不變性，最終沒有改變，或者是一個規則的限制內，就是對稱。

　　赫爾德說:“不論是點對稱還是軸對稱，都是一種東西，經過對稱變換之後，沒有脫離這一套東西。這一套東西，我們姑且叫做群。點對稱和軸對稱是一個東西變成這個東西的另外一個位置而已，東西本身沒有什麽變化。而你說的輪換對稱性，它也是一種變換之後，又回到了自己，然後就是周期性的變化了。”

　　赫爾德沉浸在自己的思維裡，而若爾當說:“我們剛剛考慮的兩個和三個的對稱，那麽四個輪換對稱，其實更加複雜，可能還會有一種內在的對角線交叉結構。”

　　赫爾德說:“以此類推的話，那這些對稱就是有兩種東西構造的，一個是對象，一個是作用方式。我們只需要給一個作用方式即可。那麽，按照你的那個方法，就會找到很多種對稱方式了，也就是找到了很多種群。這些群都具備循環不變的性質，就叫循環群。但是我們知道了這些循環後，會發現他們不像數學那麽簡單。”

　　若爾當說:“所以，我們需要對這些群分類。”

　　赫爾德說:“如何去分，才能達到真正的分類效果呢?”

　　若爾當開始作圖，赫爾德也開始跟著作圖和寫數學符號。

　　之後若爾當說:“找到其中的一些不變量，如果兩個循環群的這種不變量是相等的，就可以證明這兩個群是相等的，或者是這兩種對稱是相等的，不管這兩種對稱看起來都多不一樣。”

　　赫爾德說:“我找到了一種可以將複雜對稱性拆分的方式，如果拆分後那些不變量是相同的，就可以認定這兩種對稱性相同。”

　　若爾當說:“我剛剛看到一個12階長的循環群，發現有1、2、6、12的拆分方式，也有1、2、4、12的拆分方式，也有1、3、6、12這樣的拆分方式，這種拆分就是前面是後面群的子群了。發現他們都是可以拆成4步。同時繼續讓後面對前面做商後，又稱為2、3、2和2、2、3和3、2、2等方式。這三組的商是相同的數字，只是順序不一樣罷了。”

　　赫爾德說:“照你這麽說，若群或R模 M有合成列，則任兩個合成列都有相同長度。合成因子的同構類與合成列的選取無關，其間至多差一個置換。”