黎曼和他的學生古斯塔·羅赫已經開始著手研究關於空間流形的虧格理論。

　　這是一種研究流形有幾個洞的學問，在歐拉多面體虧格理論中已經得到發揚。

　　黎曼對羅赫說:“我們開始使用複數坐標系中的數形結合，對不同的虧格物進行研究吧。”

　　羅赫說:“我們要明白虧格在複數流形中，到底是一個什麽形式，是零和無窮嗎?”

　　黎曼說:“沒錯，這就是洞，這兩個是一樣的東西。零和無窮大在表示中僅僅是互為倒數罷了。”

　　羅赫說:“那除了這兩種洞以為，流形的其他地方必須是光滑而緊密的，這樣才合理，不能出現多個甚至無數個漏洞。說白了，就是除了極點的洞以外，其他地方絕對沒有洞這種結構存在。這樣的流形就是亞純函數。”

　　黎曼說:“沒錯，近下來，我們需要構造各種各樣我們想要的各種流形。就像我們在直角坐標系想要畫出各種函數圖像那樣來。”

　　羅赫說:“我們把這些流形，進行分類，或者還沒全畫出來的時候，就可以分類再說。”

　　黎曼說:“你知道如何分類嗎?”

　　羅赫說:“就目前而言，按照洞的個數分類，也就是虧格的數值分類。”

　　黎曼說:“我們分完類後，就要使用代數表示的方法，將其歸類，只要看到方程，就一下子知道這個流形有幾個洞，甚至是其他重要的性質。”

　　羅赫說:“如果要是這樣的話，就需要找到單元函數來構造，這種單元就是即合理最基本的結構。比如說直線、圓等等。”

　　黎曼和羅赫說的單元結構就是代數簇。

　　黎曼說:“”

　　黎曼–羅赫定理(Riemann–Roch theorem)是數學中，特別是複分析和代數幾何，一個重要工具，它可計算具有指定零點與極點的亞純函數空間的維數。它將具有純拓撲虧格 g 的連通緊黎曼曲面上的複分析以某種方式可轉換為純代數設置。

　　此定理最初是黎曼不等式，對黎曼曲面的確定形式由黎曼早逝的學生古斯塔·羅赫於1850年代證明。隨後推廣到代數曲面，高維代數簇，等等。