黎曼成功畢業了，但還是個困難戶。為了謀生，他希望能成為講師，黎曼申請了無薪講師，是指學校不提供固定的薪酬，收入完全來自於聽課學生所繳納的學費的講師。而想要成為講師，不但要提交論文，還得給學院的教授做一個資格演講。於是在1853年，黎曼提交了一份求職論文。

　　論文中推廣了保證博裡葉展開式成立的狄利克萊條件，即關於三角級數收斂的黎曼條件，研究出三角級數收斂的準則，並定義了黎曼積分，對完善分析理論產生深遠的影響。

　　當時的資格演講是有一套固定模式和傳統的，申請者須向系主任提交三個演講題目，但通常隻準備前兩個題目。作為選題目的系主任會為了不為難申請者，一般隻選前兩個題目中的一個。

　　如此看來，黎曼其實能夠輕易就通過演講的，只是他遺忘了一點，那就是當時的系主任是高斯，而高斯壓根不知道這個規矩，然後黎曼悲劇了。

　　黎曼申請講師需要就職演講，演講的審核人都是數學家的專家人物，其中也有高斯。

　　黎曼準備夠幾個題目讓審核人挑選其中之一，讓黎曼講解被挑選的題目。

　　這些題目都是前沿的數學，是考察講師的水平的。

　　高斯對黎曼給出的幾個題目進行選擇，高斯選擇了一個比較奇怪的題目《關於幾何學的基本假設》。高斯選這個題目是想看看黎曼跟自己的認識觀是否相同。高斯最近在思考環繞數的概念，這是描述三維空間中兩條閉曲線環繞的一個數值不變量。直觀上，環繞數表示每一條曲線纏繞另一條曲線的次數。環繞數總是整數，但有可能取正數或負數，取決於這兩條曲線的定向。

　　黎曼先是驚了一下，這是黎曼為了湊夠數目的一個題目，自己沒有打算要講，卻被高斯抽中，而且自己只有一個星期的準備時間了。

　　沒辦法，黎曼只能趕緊準備，然後硬著頭皮上。

　　黎曼有些後悔，覺得這次的無薪講師申請不上，恐怕自己以後沒有任何可以糊口的工作了。畢竟搞數學只能在大學裡，社會上哪裡用得著?看來高斯有點針對自己。

　　黎曼開始就職演說，講《關於幾何學的基本假設》。

　　“……幾何學的對象缺乏先驗的定義，歐幾裡德的公理只是假設了未定義的幾何對象之間的關系，而我們卻不知道這些關系怎麽來的，甚至不知道為什麽幾何對象之間會存在關系……”

　　老師們聽得面面相覷，不知道黎曼講了什麽，只有高斯略有所思。高斯想起了自己被校領導刁難的樣子，從黎曼身上看到自己的影子。

　　“……我認為，幾何對象應該是一些多度延展的量，體現出各種可能的度量性質。而我們生活的空間只是一個特殊的三度延展的量，因此歐幾裡德的公理只能從經驗導出，而不是幾何對象基本定義的推論。歐氏幾何的公理和定理根本就只是假設而已。但是，我們可以考察這些定理成立的可能性，然後再試圖把它們推廣到我們日常觀察的范圍之外的幾何。……”

　　老師們有點想打斷這個演講，但是沒好意思讓他停止。高斯沉浸在扭結問題問題中，這是一個研究如何判斷繩子是否打結的課題，即當兩段閉合的繩子纏繞在一起時，如何隻通過觀察，就判斷繩子間是否產生扭結的問題。除了判斷繩子是否打結以外，還有研究如何給扭結分類的問題。

　　“……我認為應該有一個n維流形的概念，即流形的局部與 n 維歐氏空間的局部具有相同的拓撲性質，並闡述了關於延展性、維數、以及將延展性數量化的想法。……”

　　老師們聽完了黎曼的講解後，表示紛紛聽不懂。

　　而高斯則說:“太棒了，幾何應該變革了，以前的幾何學無法再滿足當下的要求了。”

　　整個過程中，他特別指出了日常生活中不適用歐幾裡得規則的例子，比如球面。在球面上所有經線都與赤道相交呈90°，因此這些經線會彼此平行，卻在極點相交。

　　就這樣，一個小時的《論作為幾何基礎的假設》演講成為了數學史上發表的內容最豐富的長篇論文，而且在表述方面也堪稱典范，勾勒出一個截然不同的幾何世界(超越了歐幾裡得的幾何世界)。

　　這次的演講不但發揚了高斯關於曲面的微分幾何研究，建立了黎曼空間的概念，還開創了黎曼幾何，為愛因斯坦的廣義相對論提供了數學基礎。因此高斯興奮不已，順利讓黎曼獲得了講師職位。

　　在黎曼之後，龐加萊繼續研究黎曼留下來的n維流形，他創立了用剖分來研究流形的基本方法，同時引進了許多不變量:基本群、同調、貝蒂數、撓系數。不過最著名的，還是他在研究三維流形時留下的“龐加萊猜想”。