由於泊松得知了火山運動前會有磁場的變化，而這個磁場的變化發生次數不多。

　　泊松認為:“這種不同於地球磁場的火山磁場變換，如果發生的足夠的少，就不會有火山運動，如果超過了某個次數的話，那就很可能會有異常的火山運動了。”

　　狄利克雷說:“你說的這個足夠少有多少，足夠多有多多?”

　　泊松認為:“足夠少的意思是不可能不發生，只是不要為這樣的次數而大驚小怪。但是超過這樣的次數了，那麽火車就危險了。”

　　狄利克雷說:“你有辦法能找到火山磁場異常數字嗎?”

　　泊松在考慮一種數學分布，對狄利克雷說:“你見過一種方差和期望相同的分布嗎?”

　　狄利克雷愣住了，想了很長時間。

　　泊松說:“我正在考慮一種特殊的分布，適合描述單位時間內隨機事件發生的次數，這個隨機時間發生的概率很低，但是存在。”

　　狄利克雷問道:“這是從哪裡推出來的?”

　　泊松說:“我是從二項式分布得出的，其中重複n次的伯努利，把n看出無窮大。同時發生概率p非常小。然後看單位時間發生λ次的樣子，其中的k是實際的數字。”

　　泊松寫出了泊松公式P=(x=k)=λ^k*e^(-λ)/k！。

　　狄利克雷才知道這是根據二項式對n做無窮推導出來的。

　　狄利克雷說:“其中的方差和期望都等於λ嗎?”

　　泊松說:“是的。”

　　1837年，泊松出版了《關於判斷的概率之研究》(Recherches sur la probabilité des jugements)。在書中他確立了概率的法則，給出了“泊松大數定律”，並且對於二項分布一種限制情形的離散隨機變量描述了“泊松分布”。

　　在實際事例中，當一個隨機事件，例如某電話交換台收到的呼叫、來到某公共汽車站的乘客、某放射性物質發射出的粒子、顯微鏡下某區域中的白血球等等，以固定的平均瞬時速率λ(或稱密度)隨機且獨立地出現時，那麽這個事件在單位時間(面積或體積)內出現的次數或個數就近似地服從泊松分布P(λ)。因此，泊松分布在管理科學、運籌學以及自然科學的某些問題中都佔有重要的地位。在早期學界認為人類行為是服從泊松分布，2005年在nature上發表的文章揭示了人類行為具有高度非均勻性。