在泛函分析中，巴拿赫定理是一個極為重要的工具。它允許了定義在某個向量空間上的有界線性算子擴張到整個空間，並說明了存在“足夠”的連續線性泛函，定義在每一個賦范向量空間，使對偶空間的研究變得有趣味。

　　這個定理以漢斯·哈恩和斯特凡·巴拿赫命名，他們在1920年獨立證明了這個定理。

　　巴拿赫不僅自己在科學上作出了巨大貢獻，而且培育了一大批青年數學家，為形成強大的利沃夫泛函分析學派奠定了基礎.

　　他培養青年的方式中有一種很特別，這就是“咖啡館聚會”.當年利沃夫學派的一個年青學者S.烏拉姆(後來去美國定居，在二次大戰中參與原子彈的研製)，曾寫過一篇文章，題為“回憶蘇格蘭咖啡館”，其中寫道:“巴拿赫一天生活中有相當多的時間消磨在咖啡館，當有同事和年輕同行圍坐時，他可以滔滔不絕地講上幾個鍾頭.…咖啡桌跟大學研究所和數學會的會場一樣，成了爆發數學思想火花的聖地.”

　　“在蘇格蘭咖啡館(利沃夫城內一間受數學家歡迎的咖啡館)的頻繁聚會中，數學家提出了各種問題.有時問題很多，大家覺得應該記錄下來，於是在咖啡館內專門準備了記錄本，以便隨時使用(咖啡館的侍者也樂意給以方便，因為這免得他們擦洗塗在桌上的數學式子).於是，這些記錄本就產生了一部傳奇式的書:‘蘇格蘭書’.由於提問者當時或後來都很著名，使得這些記錄具有重要的科學與歷史價值，而且具有一種引起人們求知欲望的力量.由於巴拿赫夫人的功勞，這些‘蘇格蘭書’免遭戰火，奇跡般地保存了下來”.此書後來由E.馬爾采夫斯基(Marczewski)和斯泰因豪斯負責編輯出版.原稿由巴拿赫的兒子(一位博士)獻給了巴拿赫國際數學中心。