斯泰因豪斯對巴拿赫說:“你對函數的理解已經足夠深刻了，可能是個革命。”

　　巴拿赫說:“以前研究函數是數字，方程這些東西。而對我來說，函數應該更加廣泛才對。所以，就叫更廣泛的函數，簡稱泛函數。”

　　斯泰因豪斯說:“你的意思是?”

　　巴拿赫說:“自變量和因變量純粹就是集合，要按照集合的樣子嚴謹分析。”

　　斯泰因豪斯說:“你的意思是不僅限於數字，而是任何一種可以組成集合的元素，也就是任何一種研究對象?比如，數字、圖形、符合甚至語言等等?”

　　巴拿赫說:“沒錯，但是在這裡面我們需要嚴格定義。”

　　斯泰因豪斯說:“如何嚴格呢?”

　　巴拿赫說:“首先我研究的是無限維空間，而且無限維空間必須要有各個單位，成為基。這需要引入佐恩引理。”

　　斯泰因豪斯說:“我知道，是在任何一非空的偏序集中，若任何全序的子集都有上界，則此偏序集內必然存在極大元。數字有大小，集合的大小也就是這樣了。按照偏序集來，真正序不太可能了。”

　　巴拿赫說:“主要原因是來源於非歐幾何，我們為了讓整個幾何結構嚴謹，才在希爾伯特空間基礎上加工出這樣的結構來。”

　　泛函分析目前包括以下分支:

　　軟分析，其目標是將數學分析用拓撲群、拓撲環和拓撲向量空間的語言表述。

　　巴拿赫空間的幾何結構，以Jean Bourgain的一系列工作為代表。

　　非交換幾何，此方向的主要貢獻者包括 Connes，其部分工作是以 Mackey的遍歷論中的結果為基礎的。

　　與量子力學相關的理論，狹義上被稱為數學物理，從更廣義的角度來看，如按照Israel Gelfand所述，其包含表示論的大部分類型的問題。