斯泰因豪斯打斷了二人對話，對巴拿赫說:“什麽是巴拿赫空間?”

　　巴拿赫說:“是一種有長度和向量的空間。”

　　斯泰因豪斯說:“聽起來好像可以研究空氣動力學，挺有趣的。”

　　巴拿赫說:“按照標準來說是完備賦范向量空間。”

　　斯泰因豪斯說:“明白，可以近下來他的作用是什麽呢?”

　　巴拿赫說:“我和漢斯哈恩找到了一種有界線性算子，作為研究泛函數的工具。讓對偶空間變的有了一定的趣味，而且價值性很高。”

　　一臉懵逼的斯泰因豪斯說:“什麽是對偶空間?”

　　巴拿赫說:“是行向量(1×n)與列向量(n×1)的關系的抽象化。這個結構能夠在無限維度空間進行並為測度，分布及希爾伯特空間提供重要的觀點。對偶空間的應用是泛函分析理論的特征。傅立葉變換亦內蘊對偶空間的概念。”

　　斯泰因豪斯說:“你的巴拿赫空間對研究這個很有幫助嗎?”

　　巴拿赫說:“還對我和斯坦豪斯研究的共鳴定理有幫助。”

　　斯泰因豪斯說:“解釋一下……”

　　巴拿赫說:“是論述有關一族有界線性算子為一致有界的定理。是泛函分析中的一條重要定理，由我與施坦豪斯於1927年在勒貝格關於奇異積分、特普利茨關於正則求和法以及哈恩關於插值理論等前人研究成果的基礎上提出的。”

　　斯泰因豪斯還在反應共鳴定理的事情，巴拿赫繼續說:“還對閉圖像定理有幫助。”，

　　巴拿赫說:“也是泛函數裡的一種重要定理，閉圖像定理可以從開映射定理推導出來。”

　　斯泰因豪斯說:“開映射是指，連續線性算子是滿射的，那麽它就是一個開映射。”

　　巴拿赫說:“沒錯還會用到貝爾綱定理和弗雷歇空間的知識。以後詳談。”

　　巴拿赫空間證明了作為泛函分析基礎的三個定理，哈恩--巴拿赫延拓定理，巴拿赫--斯坦豪斯定理即共鳴之定理、閉圖像定理。