大數定理的英文是，它的中文翻譯通常是“大數定律”而不是大數定理。但俺卻偏要叫它大數定理！

　　定律或是英文裡的 law 都是指不需要證明但可以被驗證的理論假設。比如牛頓的萬有引力定律。從數學上說，不需要證明就被接受的假設被認為是公理。但是這個大數定理並非公理，它是被嚴格證明出來的(證明也不複雜，只要用馬爾可夫不等式或切比曬夫不等式就行了)，因此準確的數學語言應該叫它“定理”。管他叫“定律”會讓人以為這個東東就是假設出來的公理，從而產生歧義，當年也不知道誰這麽沒涵養管它叫“law”。所以，不管你們服不服，俺都要管它叫大數定理。

　　大數定理大概說了這樣一個意思。假設有某個隨機實驗會產生一個隨機變量 X。如果你重複做這個隨機實驗 n 次，你就會得到一個隨機變量序列 X1， X2， X3，…， Xn。這裡假定這些隨機變量相互獨立(即這些隨機實驗互不影響)而且 n 是個很大的數(比如，一萬，十萬，百萬)，那麽把這 n 個數加起來除以 n (即取平均)，得到的數( 即(X1+X2+…+Xn)/n )幾乎總是很接近隨機變量 X 的均值。同學們注意一下俺這裡“幾乎總是”和“很接近”的用詞哈。雖然俺是個馬虎的人，這裡的遣詞造句是極其考究，極負責任，極具情懷的。

　　咱們用老千擲硬幣的例子先看看大數定理到底說了些啥子嘛。假設那個老千擲了 n 次硬幣，那麽他就得到了 n 個在{0， 1}裡取值的數。因為這 n 個數都是隨機的，這 n 個數的均值當然也是個隨機變量，就是說也有一個概率分布函數，有一定的不確定性。大數定理告訴俺們，當 n 很大的時候，這 n 個數的平均值“幾乎總是很接近”1/3。“幾乎總是”和“很接近”是可以在數學上嚴格定義的，不過當俺講完它們的定義的時候，估保守，但俺碼字已經快要吐血，正在後悔俺為什麽要攬下這麽個差事，所以就隨便套了一下切比曬夫不等式得出下面這些“至少有”的結論):

　　當 n=1000 時，至少有 91.1%的概率這個平均值很接近1/3。

　　當 n=10000 時，至少有 99.1%的概率這個平均值很接近1/3。

　　當 n=100000 時，至少有 99.9%的概率這個平均值很接近1/3。

　　如果把“很接近1/3”理解為跟 1/3 相差不到 0.02，那麽:

　　當 n=1000 時，至少有 44.4%的概率這個平均值很接近1/3。

　　當 n=10000 時，至少有 94.4%的概率這個平均值很接近1/3。

　　當 n=100000 時，至少有 99.4%的概率這個平均值很接近1/3。

　　當 n=1000000 時，至少有 99.9%的概率這個平均值很接近1/3。

　　現在展開你想象的翅膀，你應該看到當 n 變成無窮大的時候，這個平均值就不再是“幾乎總是很接近1/3”，而是“就是1/3”了！

　　至此同學們可能已經體會出俺極其考究、極負責任的“幾乎總是很接近”了吧。這裡的情懷還是讓俺帶你們領略一下吧。老千擲出的序列當然是隨機的、不確定的、沒有規律的。這個序列的平均數雖然也在1/3周圍隨機跳動，但卻隨著 n 的增大越發確定起來。當n很小、她就在你跟前的時候，變化多端、捉摸不定的她讓你無法看清;當 n 增大的時候，她漸行漸遠，但她在風中顫動的身影卻在你記憶的相機裡慢慢聚焦，越來越清晰;直到她消逝在無限的遠方，她竟定格成一幅永恆而又無比真切的畫面......

　　學霸們可能會覺得俺太矯情了:不就一個簡單的大數定理嗎，有必要這麽忽悠嗎?其實俺也覺得自己有些矯情。但看完本文之後，俺請你再回頭體會一下大數定理的情懷。