格羅滕迪克發現概形理論也有概括不了的東西。

　　1928年3月28日，格羅滕迪克出生於德國柏林的一個猶太家庭，他在開始其數學研究的生涯時，所研究的領域是泛函分析中的拓撲線性空間。在這之後，格羅騰迪克投入到了同調代數的研究中。也是在那個時期，他開始了與塞爾的長期著名通信。從塞爾以及其他的數學家那裡，格羅滕迪克學到了許多現代數學和代數幾何的基本知識，轉而對代數幾何和數論產生了濃厚的興趣。他研究建立代數幾何基礎理論的強烈動機之一其實也是為了想證明那個與黎曼猜想類似的有限域上高維代數簇的韋依猜想。

　　前面曾經談到在仿射代數簇和它的坐標環之間有一一對應的關系，因此對仿射代數簇的幾何研究也就可以轉化為對相應的坐標環的代數研究。然而坐標環是一種性質很好的環，它在環論中還有一個專門的名稱叫“-代數(-algebra)”。由於不是每個交換環都可以成為仿射代數簇的坐標環(例如整數環就是如此)，所以格羅騰迪克就想用任意的交換環來構造一種類似於仿射代數簇那樣的抽象的幾何對象，使得每一個交換環都可以成為這種抽象幾何對象的“坐標環”。大約在1957年左右，卡吉耶(Cartier)建議用交換環的全體素理想的集合(稱為的“素譜”)來作為與對應的“幾何對象”，它是經典仿射代數簇的抽象推廣。這個簡單的想法立即成為了格羅騰迪克重建代數幾何基礎的出發點。這是因為每個交換環的素譜連同它上面的結構層一起，都能夠組成一個環層空間(，)，這個環層空間就是最簡單的概形——“仿射概形(affine scheme)”。這個仿射概形就是格羅騰迪克心目中的“抽象的幾何對象”。一旦有了仿射概形，那麽對這種新的幾何對象的研究就能夠轉化為對任意交換環的代數研究，這就將極大地拓展這種新幾何的適用范圍，實現人們長久以來夢寐以求的將代數幾何與代數數論統一起來的夢想。

　　概形就是局部同構於仿射概形的環層空間，或者也可以將概形粗略地理解為是將一些仿射概形經過適當的“粘貼”後而得到的。由於仿射概形是仿射代數簇的推廣，因此很明顯:概形確實是經典代數簇的抽象推廣。

　　1958年8月，格羅滕迪克在愛丁堡舉行的國際數學家大會上作了一個報告。他的這場報告不是對他過去已取得成果的匯報，而是對其未來十年工作的預告。後來被譽為代數幾何的聖經的八卷《代數幾何基礎》(簡稱EGA)，就是格羅滕迪克在1960-1967年間與迪厄多內(Dieudonné)合作完成的。在寫完EGA之後，格羅騰迪克和他的合作者們一起又馬不停蹄，繼續撰寫縮寫代號為SGA的另外八卷系列代數幾何專著。就這樣，通過總篇幅達7500頁的這兩套書的寫作，格羅騰迪克在20世紀60年代末，終於將經典的代數簇理論推廣成了適用面更廣的概形理論，真正為整個代數幾何學建立起了一個牢固的邏輯基礎，並且徹底重寫了代數幾何。

　　格羅騰迪克的概形理論將代數幾何打造成了一個在很大程度上將幾何、代數、數論與分析完美統一起來的邏輯推理體系，它具有許多經典代數幾何理論所沒有的優點。例如在概形上，可以有嚴格的“一般點(generic point)”、“基變換(change of bases)”、以及“冪零元(nilpotent element)”等非常有用的概念，

並且可以用精細的抽象代數的方法來研究幾何對象的各種抽象的“幾何性質”，這樣就為解決一大批重要的經典數學問題開辟了道路。同樣在概形上，我們可以做所有的在經典代數簇上曾經做過的事情，例如可以定義廣義的“纖維叢”(即模層)、“除子”和“微分”，可以有層的上同調理論(包括Serre對偶定理等)，可以建立嚴格的代數簇分類理論和黎曼-羅赫定理，以及建立嚴格的相交理論(包括周環和陳類)等。在概形上也能夠做以前根本無法做到的事情，例如可以構造模空間的嚴格理論，尤其是可以建立能夠應用於數論的“算術代數幾何”理論等。　　後來的歷史發展證明，當經典代數幾何的邏輯基礎問題被徹底解決後，代數幾何便立即取得了巨大進展，並因此促進了20世紀後半葉現代數學的大發展。下面列舉一些現代數學中因代數幾何的進步而獲得的重大成果，它們分別是:德利涅(Deligne)證明了數論中韋依猜想、廣中平佑解決任意維數代數簇的奇點解消問題、芒福德(Mumford)建立了一般模空間的理論、法爾廷斯(Faltings)證明了數論中的莫德爾(Mordell)猜想、森重文完成了3維代數簇分類、懷爾斯(Wiles)證明了數論中著名的費馬大定理以及吳寶珠證明了朗蘭茲()綱領中的基本引理等。不僅如此，伴隨著這些重大問題的解決過程，同時又出現了一大批全新的數學研究領域，其中尤其令人想不到的是概形理論對於數學物理研究的巨大推動作用，而在量子場論中出現的許多新思想(例如弦理論、鏡像對稱和量子上同調等)反過來又促進了對於代數簇的拓撲和計數幾何的研究。

　　人們常說格羅滕迪克“有一種關於數學可能是什麽的高屋建瓴般的觀點”。數學家巴斯(Bass)就曾評價:格羅滕迪克用一種“宇宙般普適”的觀點改變了整個數學的全貌。我們不妨可以簡單地將代數幾何看成是“用多項式研究幾何、用幾何的想法研究多項式”的學科。特別是從代數幾何中體現出來的代數與幾何相互作用的方式，具有普遍的意義，目前這種思想方法已經滲透到了幾乎所有的現代數學各主要分支學科中。