這些結果很快激發出了Atiyah-Singer指標定理。

　　阿蒂亞看到博特的同倫群周期性定理後，開始準備準備以此作為工具來研究拓撲學。

　　阿蒂亞深知數形結合對於數學的影響是極其深遠的，而且會越來越深遠。

　　阿蒂亞在想，普通的方程的解的個數，就是曲線與直線的焦點的個數。

　　而微分方程尋找解法的話，那解的樣子應該是什麽樣子的?

　　剛好辛格也來湊熱鬧了，得知阿蒂亞的想法後，他在一杯咖啡下肚後說:“你已經知道普通曲線的解就是跟曲線交點數了。那是一種拓撲的結構，而研究微分方程的解法，很難，在圖形裡肯定也有一種結構，也是一種拓撲結構。”

　　阿蒂亞說:“沒錯，我們現在就需要搞清楚，微分方程的解會是什麽樣的拓撲圖形結構。”

　　辛格說:“這是一個集映射、流形、纖維從、特征類、上同調、橢圓算子、博特周期、范疇和K理論於一身的東西。只要把這些東西合起來才可以。”

　　阿蒂亞也深知，這是一個對微分幾何、拓撲學、微分方程和代數幾何相互融為一體的學生，必須要有強勁的數學功力才可以。

　　阿蒂亞說:“事情其實不難想，我研究的事情，也就是微分方程的解或者解的數目是由其定義在該微分方程空間的幾何拓撲特征全部決定的。”

　　辛格說:“沒錯，簡單說微分方程解的數目是一個拓撲不變量。但是這必須是行為良好的微分方程，雜亂無章的恐怕不可以了。”

　　阿蒂亞說:“沒錯，我們先不能研究病態的那些微分方程，只需要把正常的弄好就可以了。”

　　阿蒂亞和辛格開始從簡單的微分方程起，研究對應在空間中的拓撲結構，然後由簡單到難處，慢慢的對很多微分方程的解，都用了拓撲學來解釋。

　　阿蒂亞和辛格的工作，被後來的數學家廣泛使用了。