“易損素數”中，任意一位數字的改變都會讓其變為合數。

　　素數是指在大於1的自然數中，除了1和它本身以外不再有其他因數的自然數。1978年，數學家發現了一種十分“脆弱”的素數，任意改變其一位數就會變成合數，它們被稱為“易損素數”。近期，數學家找到了更多的“易損素數”，而這一概念也被再一次擴展……

　　讓我們來看看以下幾個數字，試試看能否發現它們的特別之處:294001、505447、584141。

　　你可能會注意到它們都是素數(只能被自己和1整除)，但其實這幾個數的不尋常之處遠不止如此。如果我們選取這幾個數字中的任意一位進行更改，新得到的數字就成為了一個合數，比如將294001中的1改成7，那麽得到的數字就可以被7整除，改成9，則可以被3整除。

　　這些數字被稱為“易損素數”，它們是相對較新的數學發現。1978年，數學家默裡·克拉姆金(Murray )提出了這一類素數的猜想，之後迅速得到了有史以來發表論文數量最多的數學家保羅·埃爾德什(Paul Erd?s)的回答，他不僅證明了易損素數確實存在，而且證明了它們的數量是無限的。後來，其他數學家進一步擴展了埃爾德什的結果，其中就包括菲爾茲獎章得主陶哲軒，他在2011年的一篇論文中證明了易損素數之間是呈“正比例”的。這意味著，隨著素數本身變大，連續兩個易損素數之間的平均距離保持穩定。也就是說，易損素數並不會變得越來越稀少。

　　在近期發表的兩篇論文中，南卡羅來納大學的邁克爾·菲拉塞塔(Michael )更進一步地闡述了這一觀點，並提出了一類結構更為精妙的易損素數。他受到埃爾德斯和陶哲軒工作的啟發，設想將一個無限長的前導零串作為素數的一部分，就像數字53和…0000053的值是一樣的，那麽如果改變一個易損素數前無限的零中的任意一個，素數會變合數嗎?菲拉塞塔假定這些數字是存在的，並將其稱為“廣義的易損素數”。2020年11月，他與研究生耶利米·索斯威克(Jeremiah Southwick)共同發表了一篇論文來探究這些數字的性質。這項結果得到了喬治亞大學數學系教授保羅·波拉克(Paul )的盛讚。

　　顯而易見，這樣的數字比原來的易損素數更加難找。波拉克說:“294001是一個易損素數，但並不是一個廣義上的易損素數，因為如果我們把…000294001變為…010294001，得到的並不是合數，而是另一個素數。

　　事實上，菲拉塞塔和索斯威克找遍了1 000 000 000以內的所有整數，也沒有在十進製下找任何一個廣義的易損素數。然而，這並沒有阻止他們繼續尋找的腳步。

　　經過不懈的探索，他們證明了這樣的數字在十進製的情況下確實是可能存在的，而且還會有無窮多個。更進一步，他們還證明了廣義的易損素數同樣是呈正比例的，就像陶哲軒的結論那樣。之後，在索斯威克的博士論文中，他在2、9、11和31進製上獲得了相同的結果。波拉克對這些發現印象深刻，他說:“對於這些數字，你可以做無限多可能的改變，然而不管你做哪一個改變，你得到的始終是一個合數。”

　　證明過程主要依靠兩種工具，第一種被稱為覆蓋同余(covering systems)，

是由埃爾德什在1950年發明的，目的是解決一個數論中的問題。索斯威克說:“覆蓋同余能夠提供大量的分組，同時保證每個正整數至少在其中一個分組中。”例如，如果將所有正整數除以2，我們就能得到兩個分組:一組偶數，一組奇數。這樣即可“覆蓋”所有的正整數，而在同一組內的數字則被認為彼此是“一致”的。當涉及的數字量十分大時，也就是面對尋找廣義易損素數時，情況會顯得更為複雜。我們需要更多的分組，大約1025000個，在這些分組內的每一個素數都要保證，在增加了任意一位的數字，包括前面的零之後，能夠變成合數。　　但為了找到廣義的易損素數，這些數中的任何一位數字減少後，也必須變成合數。這就是第二種工具，稱為篩分法。篩分法最早可以追溯到古希臘，它提供了一種計算、估計或設置滿足某些性質的整數個數限制的方法。菲拉塞塔和索斯威克使用了一個篩分參數，類似於陶哲軒在2011年采用的方法，也就是如果你在前面提到的組中取素數並減少其中的一個數字，會有呈正比的素數變成合數。換言之，廣義的易損素數也是呈正比的

　　然後，在一月份的一篇論文中，菲拉塞塔和他現在的研究生雅各布·朱伊拉特( Juillerat)提出了一個更加驚人的觀點:存在任意長的連續素數序列，其中每個數字都是廣義的易損素數。例如，有可能找到10個連續的廣義易損素數。但這必須得檢驗大量的素數，菲拉塞塔說，“這一數量可能比可觀測宇宙中的原子數還要多。”他把這比作連續10次中彩票，雖然概率特別小，但是依舊是有可能的。

　　菲拉塞塔和朱伊拉特分兩個階段證明了他們的定理。首先，他們使用覆蓋同余來證明存在一個包含無限多個素數的分組， 分組內的所有數字都是易損素數。在第二步中，他們應用了丹尼爾·邵(Daniel Shiu)於2000年證明的一個定理:在所有的素數中，存在任意數量的連續素數屬於上述的分組中。這也就能夠進一步說明，這些連續的素數必然是廣義的易損素數。

　　達特茅斯學院的卡爾·波默朗斯(Carl Pomerance)非常喜歡這些論文，他稱讚菲拉塞塔是應用覆蓋同余的大師。同時，他還指出，用十進製來表示一個數字可能會很方便，但這並不符合數字的本質。他認為，還有更基本的方法來表示數字，比如梅森素數的定義——素數p的表現形式為2p–1的素數。

　　在之前的研究基礎上，最近的一些相關論文提出了更多值得探討的問題。比如，每一種進製下是否都存在廣義的易損素數?當在兩個數字之間插入一個數字，而不是僅僅替換一個數字時，是否會有無窮多的素數變成合數?

　　此外，波默朗斯還提出了另一個有趣的問題:當數字接近於無窮大時，是否所有的素數都會變為(廣義)易損素數?這是否也就意味著，非(廣義)易損的素數個數是有限的?盡管他和菲拉塞塔都還沒有想到辦法來證明這個猜想。

　　波默朗斯說:“數學研究的魅力就是你事先不會知道你是否能夠解決一個具有挑戰性的問題，或者這個問題是否是有意義的。就像你不能提前決定:今天我要做一些有價值的事情，因為你不知道在數學研究中，什麽事情才是有價值的，你只能去不斷思考，不斷嘗試。”